4 Integrales

4.1 Aproximación del área de una región por área de rectángulos.

\[ A(R) =\lim \limits_{b \rightarrow \infty} \sum^n _{i = 1} f(c_i) \Delta x \quad \mathrm{donde} \quad \Delta x = \frac{b - a}{n}; c_i = a + i \Delta x \]

4.2 Integral indefinida

\[ G(x) = \int f(x)dx = F(x) +c, \quad \forall x \in I \]

4.3 Formula de integración

\[ \int \frac{du}{u^2 - a^2} = \frac{1}{2a} \ln | \frac{u - a}{u + a}| + c \]

4.4 Teorema fundamental del cálculo

\[ \int ^b _a f(x)dx = F(x)|^b _a = F(b) - F(a) \]

4.5 Integral doble

\[ \iint \limits_{D} f(x,y)dx dy = \int ^b _a \left( \int ^{\psi(y)} _{\varphi(x)} f(x,y)dx \right) dy \]

4.6 Integral triple

\[ \int ^2 _1 \int ^{2x} _x \int ^{\sqrt{2xy}} _{\sqrt{1 - x^2 - y^2}} \frac{z}{x^2 + y^2 + z^2} dx dy dz = \ln \left( \frac{81 \sqrt{3} }{ 2 } - \frac{9}{4} \right) \]

4.7 Circulación del campo vectorial

\[ C = \oint \overrightarrow{F} d \overrightarrow{r} = \oint_{\Gamma} \left( P(x,y,z)dx + Q(x,y,z)dy + R(x,y,z)dz \right) \]

```