Preliminares

0.1 Par ordenado

LLamaremos “Par ordenado” de números reales a la expresión (a,b) donde a es llamada la primera componente y b es llamada la segunda componente. (Espinoza 2002,p 182)

¿Es par ordenado?	Sí	No
(1,3)	X
(1,2,3)		X
{1,3}		X

Relación entre el símbolo de un conjunto {w,x,y,z} y el símbolo del par ordenado (a,b) \[\left ( a,b \right )= \left \{ \left \{ a \right \},\left \{ a,b \right \} \right \}\]

El par ordenado no es conmutativo.

0.2 Igualdad De Pares Ordenados

Los pares ordenados (a,b) y (c,d) diremos que son iguales si sus correspondientes componentes son iguales,(Espinoza 2002,p 182)

\[\left ( a,b \right )=\left ( c,d \right ) \ \Leftrightarrow a=c\ \wedge \ b=d\]

0.3 Producto Cartesiano De Conjuntos

Consideremos dos conjuntos \(A\) y \(B\) arbitrarios ;llamaremos producto cartesiano de \(A\) y \(B\) , al conjunto formado por todos los pares ordenados \((a,b)\) de tal manera que la primera componente \(a\) pertenece al conjunto \(A\) y la segunda componente \(b\) pertenece al conjunto \(B\).(Espinoza 2002,p 182)

Notación	Representa
\(A\times B\)	\(A \times B = \{(a,b) \mid a \in A \ \wedge \ b \in B\}\)

NOTA: \(\left ( a,b \right )\in A\times B \Leftrightarrow a\in A \ \wedge\ b\in B\)

0.4 Propiedades del Producto Cartesiano

Sean \(A,B,C\) y \(D\) conjuntos arbitrarios.

1.Producto cartesiono con el conjunto vacío: \[A \times \emptyset =\emptyset \times B= \emptyset\] 2. Propiedad con la unión: \[A \times (B \cup C) = (A \times B) \cup (A \times C)\] 3. Propiedad con la intersección: \[(A \times B) \cap (A \times C) = A \times (B \cap C)\] 4. Contención entre productos cartesianos: \[Si\ A \subset B, C \subset D\ \Rightarrow \ A \times B \subset C \times D\] 5. Propiedad asociativa: \[(A \times B) \times C=A \times (B \times C)\] Tarea Moral:

Se presentan algunos ejercicios para que puedas practicar los conceptos vistos en esta entrada. Será muy útil que los intentes para comprender mejor la teoría vista.

En cada caso determinar los valores de \(x\) e \(y\).
- \((x,4)=(-2,y)\)
- \((y-2,2x+1)=(x-1,y+2)\)
- \((x+y,3)=(5,y-x)\)
- \((3x-8y,4x+3y)=(4-2x-10y,2x+4y+7)\)
- \((\frac{x+y}{2}-1,\frac{x-y}{2}+1)=(\frac{y-x}{2}+2,\frac{x+y}{2}-2)\)
Dado los conjuntos: \(A = \{x \in \mathbb{Z} \mid -1 \leq x \leq 3\}\),\(B = \{x \in \mathbb{Z} \mid 1 \leq < x \leq 4\}\),\(C = \{x \in \mathbb{Z} \mid 1 \leq x \leq 4\}\).
Hallar los conjuntos y graficar:
1. \(A \times B\)
2. \(B \times C\)
3. \((A \cap C) \times B\)
Dado \(A = \{x \in \mathbb{N} \mid -12 < x + 6 < 20\}\) y \(B = \{x \in \mathbb{Z} \mid 10 < x^2 < 400\}\)
¿Cuantos elementos tiene \(A \times B\) ?
Sean \(A=\left \{ a,b \right \}\) ,\(B=\left \{ 1,2,3,4,5 \right \}\) y \(E=\left \{ 3,5,7,9 \right \}\). Hallar \((A \times B) \cap (A \times E)\)

0.5 Relación

0.5.1 Introducción para entender

Después de haber discutido el producto cartesiano, podemos comenzar a acercarnos a la definición de función. Sin embargo, antes de hablar de las funciones, es necesario hablar de las relaciones y algunos de sus conceptos. En esta entrada se presentará el concepto de relación, dominio y codominio.

Cuando hablamos del producto cartesiano, estamos combinando todas las posibles parejas de elementos entre dos conjuntos. Sin embargo, es posible que no nos interesen todas las parejas posibles. A veces solo nos interesa hablar de un subconjunto de estas parejas.¹

Ejemplo: Sí tenemos los conjuntos \(I=\left \{zapatos \ izquierdos \right \}\) y \(D=\left \{zapatos \ derechos \right \}\) denotados por \(I,D\) ,respectivamente,no siempre nos interesan todas las posibles parejas de zapatos.Quizás solo nos interese combinar cada zapato izquierdo con su par correspondiente. Para dar un ejemplo, imagina que hay tres zapatos y los conjuntos I y D contienen tres zapatos cada uno.
\(I = \{A_I,B_I,C_I\}\)
\(D = \{A_D,B_D,C_D\}\)
Si quisieramos unir cada zapato con su par, nos podemos fijar en su producto cartesiano \(I \times D\), sin embargo hay elementos que si nos van a interesar y otros que no.Por ejemplo ,la pareja \((I_A,D_A)\) sí nos interesa, pues es el zapato izquierdo y derecho del zapato A. \[R = \{(I_A,D_A),(I_B,D_B),(I_C,D_C)\}\]

Este conjunto es una relación entre los conjuntos \(I\) y \(D\).

NOTA: \(R \subset I \times D\)

0.5.2 Relación Binaria

Consideremos dos conjuntos \(X\) y \(B\) no vacíos, llamaremos relación binaria de \(X\) en \(Y\) o “relación entre elementos de \(X\) e \(Y\)” a todo subconjunto R del producto cartesiano \(A \times B\). (Espinoza 2002,p 191)

\[R\: es\, una\, relaci\acute{o}n\, de\, X\, en\, Y \Leftrightarrow R \subset X \times Y\displaystyle \]

0.5.3 Dominio de una Relación Binaria

Consideremos una relación \(R\) de \(X\) en \(Y\): es decir que \(R\subset X\times Y\). El dominio de la relación \(R\) denotado por \(D_R\). (Espinoza 2002,p 193)

\[D_R=\left \{ x\in X\mid (\exists y\in Y ) \wedge (x,y)\in R \right \}\]

0.5.4 Rango de una Relación Binaria

Consideremos una relación \(R\) de \(X\) en \(Y\): es decir que \(R\subset X\times Y\). El rango de la relación \(R\) denotado por \(\mathfrak{R}_R\). (Espinoza 2002,p 193) \[ \mathfrak{R}_R=\left \{ y\in Y\mid (\exists x\in X ) \wedge (x,y)\in R \right \}\]
Tarea Moral: